《惊蛰归期》藜蔓几何

18、初夏

　　2016年6月，初夏

　　课题选择：误差的蝴蝶效应

　　六月的第一个周六，实验室的白板上写满了公式。

　　左边是物理部分：方见微列出的实验方案——测量单摆周期与摆长、振幅的关系，研究空气阻力、摆球形状、悬点摩擦等因素的影响。

　　右边是数学部分：姜之墨画出的误差传播模型——用概率分布描述每个变量的不确定性，用协方差矩阵表示变量间的关联，最终计算总误差的概率密度函数。

　　“关键在于，”姜之墨用红色记号笔圈出一个公式，“我们不是要消除误差，而是要理解误差如何传播。就像天气预报——你知道初始数据有误差，但通过数学模型，可以预测这个误差如何影响未来三天的预报。”

　　方见微站在她身侧，看着那些复杂的数学符号。偏微分、雅可比矩阵、蒙特卡洛模拟……都是他从未接触过的领域。

　　“这些方法……”他停顿，“你都会？”

　　“会一部分。”她诚实地说，“我爷爷教过我基础。剩下的我可以自学，暑假前应该能掌握。”

　　“需要什么资料？”

　　“图书馆三楼的数学建模教材，还有几篇误差分析的论文。”她翻出书单，“我查过，江南大学图书馆有，但需要借阅证。”

　　“我父亲有。”方见微说，“可以用他的。”

　　她抬头看他，眼睛亮了一下：“真的？那……谢谢。”

　　“不客气。”他转向白板，“现在分工：我负责设计实验、采集数据、物理分析。你负责建立数学模型、编写仿真程序、误差量化。”

　　“好。”她点头，“但我要参与实验设计。数学模型需要理解物理过程的每个细节。”

　　“可以。”他说，“实验方案我们一起定。”

　　那个上午，他们争论了三次：

　　第一次是关于摆球材质。方见微主张用钢球——密度大，空气阻力影响小。姜之墨主张用乒乓球——质量小，更容易观察阻力效应。

　　“但乒乓球的不规则性会引入额外误差。”他说。

　　“那正好！”她指着误差模型，“我们就是要研究不规则性如何影响结果。如果所有条件都完美，还有什么可研究的？”

　　他想了想，点头：“有道理。”

　　第二次是关于测量频率。方见微计划每秒采样10次，用光电门计时。姜之墨认为应该用高速摄像机，每秒1000帧，然后图像分析。

　　“成本太高。”他说，“学校没有高速摄像机。”

　　“物理实验室有一台旧的，”她说，“我叔叔说可以借给我们，但需要写申请。”

　　“你会写申请吗？”

　　“会。我帮你写，你签字。”

　　第三次，也是最激烈的一次，是关于课题的哲学意义。

　　“误差传播研究有什么应用价值？”方见微问，“裁判可能会问。”

　　姜之墨放下记号笔，认真地看着他：“方见微，你知道蝴蝶效应吗？”

　　“气象学概念。初始条件的微小变化导致系统长期行为的巨大差异。”

　　“对。”她走到窗边，指着外面，“现在江南市的天气，和西伯利亚一只蝴蝶扇动翅膀有关。但我们永远不可能知道是哪只蝴蝶，也不可能测量它扇翅膀的精确力度。我们能做的，是建立一个模型，告诉我们：如果初始条件有这么多不确定性，那么三天后的预报有多少可信度。”

　　她转回身，眼睛里有种他从未见过的光芒：

　　“物理实验也一样。你永远不可能做出完美的单摆，永远不可能完全消除空气阻力。但如果你知道每个因素的不确定性，知道它们如何相互作用、如何传播，你就能说：我的测量结果有95%的概率落在这个区间内。”

　　她顿了顿，声音轻了些：

　　“这就像……人和人之间。我们永远不可能完全了解彼此，永远有误解、有距离、有信息损耗。但如果我们能理解这些‘误差’如何产生、如何传播，也许就能更宽容地对待彼此的不完美。”

　　实验室安静下来。只有窗外蝉鸣隐约传来，初夏的风吹动窗帘。

　　方见微看着她。她站在白板前，身后是密密麻麻的公式，脸上是认真的、发着光的神情。

　　那一刻，他清楚地意识到：她不只是聪明，不只是数学好。她有一种将抽象概念与真实世界连接的能力——从误差传播到天气预报，再到人际关系。

　　这种能力，他学不来。这是他钦佩她的另一个原因。

　　“好。”他终于说，“就按你的思路。我们研究误差的蝴蝶效应。”

　　姜之墨笑了，笑容里有种如释重负的轻松：“你同意了？”

　　“嗯。”他点头，“你说服我了。”

　　“那……”她拿起笔，“我们继续？”

　　“继续。”

　　六月的周末，他们开始泡在市图书馆。

　　方见微用父亲的借阅证借来了所有需要的资料：三本数学建模教材，五篇误差分析论文，还有一本泛黄的《概率论与数理统计》——1978年版，姜之墨爷爷年轻时用的教材。

　　“看这个，”她翻开那本旧书，指着页边的手写批注，“这是我爷爷的字。他说：‘概率不是频率，是信念的度量。’”

　　方见微凑近看。纸张已经发黄，墨迹有些晕开，但字迹依然清晰有力。

　　“信念的度量？”他问。

　　“嗯。”她轻声说，“比如，你认为明天会下雨的概率是70%。这不是因为你观察了100个类似天气，其中70次下雨了。而是你综合了所有信息——气压、湿度、云图、经验——之后，对‘下雨’这个命题的相信程度。”

　　她翻到下一页，那里画着一个贝叶斯公式的推导。

　　“贝叶斯学派，”她指着公式，“认为概率是主观的，会随着新证据更新。就像我们做实验：一开始你认为单摆周期是T0，测量一次得到T1，你就更新你的信念，得到一个新的概率分布。”

　　她说这些时，眼睛亮得像盛满了星光。方见微突然想起她说过的话：“我奶奶是历史老师，我爷爷是数学教授。”

　　他生长在工程师家庭，父亲教他的是确定性——材料有屈服强度，结构有安全系数，一切都是可计算、可控制的。

　　而她生长在学者家庭，爷爷教她的是不确定性——世界是概率的，知识是条件性的，真理是需要不断更新的信念。

　　这两种世界观，此刻在这个图书馆角落里碰撞、融合。

　　“所以我们的课题，”方见微慢慢说，“本质上是研究：当我们有了新的测量数据，如何更新对物理参数的信念？”

　　“对！”她眼睛更亮了，“就是这个！用贝叶斯推断，把实验过程建模为信念更新过程！”

　　她兴奋地在草稿纸上画图：先验分布、似然函数、后验分布……

　　方见微安静地看着。他不懂这些数学细节，但他理解背后的思想——这是一种全新的、比他想象中更深刻的视角。

　　“我需要时间学习。”他说。

　　“我教你。”她立刻说，“就像你教我物理一样。”

　　“好。”

　　那个下午，图书馆窗外的梧桐叶在夏风中沙沙作响。他们在靠窗的桌子两侧，她讲贝叶斯定理，他讲单摆的动力学；她画概率分布图，他画受力分析图。

　　有时候他们会卡住——某个数学概念找不到物理对应，某个物理现象难以用数学描述。

　　“这里，”方见微指着一个公式，“你说后验分布是正态的，为什么？根据中心极限定理？”

　　“对，但需要满足独立同分布条件……”她皱眉，“我们的测量可能不独立。”

　　“那就需要更复杂的模型……”

　　“让我想想……”

　　思考时的沉默，笔尖划过纸张的沙沙声，偶尔的低声讨论。图书馆的管理员经过时，对他们微笑——这是她周末常看到的两个高中生，总是带着厚厚的书，总是认真得像在做生命中最重要的事。

　　下午四点，阳光西斜。姜之墨讲完最后一个知识点，放下笔，揉了揉手腕。

　　“累了？”方见微问。

　　“有点。”她承认，“数学讲起来比做起来累。”

　　“休息一下。”他说，“我去买水。”

　　他起身离开。回来时，手里拿着两瓶矿泉水，还有一小袋柠檬糖——她喜欢的那个牌子。

　　“给你。”他把糖递过去。

　　她愣了下，然后笑起来：“你怎么知道我喜欢这个？”

　　“看你吃过。”他说得简单。

　　她剥开一颗放进嘴里，酸和甜在舌尖化开。然后她轻声说：“方见微，你知道吗，这是我第一次……和别人这样深入地讨论数学。”

　　“第一次？”

　　“嗯。”她点头，“以前都是爷爷讲，我听。或者自己看书。但和你讨论……不一样。因为你要用，所以会问最实际的问题。那些问题，有时候会逼我去想从来没想过的东西。”

　　她顿了顿，看着他：

　　“就像你今天问的：‘信念更新需要多少数据才可靠？’——我从来没想过这个问题。但它是核心。”

　　方见微沉默了几秒。然后他说：“因为我要用这个模型去做真实的实验。如果模型不可靠，实验就没有意义。”

　　“我知道。”她笑，“所以我喜欢和你一起工作。你让我不能只停留在理论层面。”

　　“你也一样。”他说，“你让我不能只停留在现象层面。”

　　两人对视，然后同时移开视线。

　　窗外的阳光正好，在桌面上投下斑驳的光影。

　　“继续吗？”她问。

　　“继续。”

　　六月中旬，学校批准了他们借用高速摄像机的申请。条件是：只能在周末使用，必须有老师监督。

　　监督老师是周老师——他们的物理老师，也是竞赛辅导老师。

　　“你们要研究单摆的误差传播？”周老师看着他们的实验方案，推了推眼镜，“想法很好。但为什么用高速摄像机？”

　　“为了捕捉摆动的细节。”姜之墨解释，“传统光电门只能测周期，但摄像机可以记录整个轨迹。我们可以分析摆球的微小晃动、悬点的微小位移——这些都是误差来源。”

　　周老师看向方见微：“你怎么想？”

　　“我们需要量化这些微小因素的影响。”方见微说，“理论上它们对周期的影响是二阶小量，但实验上从未精确测量过。”

　　“因为太难测了。”周老师说。

　　“所以我们要试试。”姜之墨接过话，“用数学建模反推：如果我能从视频里提取出这些微小运动，就能计算它们对周期的贡献。”

　　周老师看了他们一会儿，然后笑了：“行，我陪你们。但只到晚上十点。”

　　“谢谢周老师！”

　　那个周六晚上，物理实验室灯火通明。

　　高速摄像机架在三脚架上，镜头对准单摆装置。方见微调整灯光——需要均匀照明，又不能太亮导致过曝。

　　姜之墨在电脑前调试软件。她要编写一个图像分析程序，从每一帧视频里提取摆球中心的像素坐标，精度要达到亚像素级别。

　　“准备好了吗？”方见微问。

　　“再等一下……”她盯着屏幕，手指在键盘上快速敲击，“这个阈值要调低一点……好了！”

　　周老师坐在角落批改作业，偶尔抬头看看他们。

　　第一次拍摄。摆球释放，摄像机开始录制。1000帧/秒，摆动了20个周期，产生了40000张图片——每张图片只有几KB，但总量惊人。

　　“数据太大了……”姜之墨看着硬盘空间，“要分批处理。”

　　“先处理前五个周期。”方见微说，“分析关键特征。”

　　她点头，开始运行程序。电脑风扇嗡嗡作响，进度条缓慢移动。

　　等待的时候，他们坐在实验台边，吃周老师带来的面包——当作晚餐。

　　“你们俩，”周老师忽然说，“配合得很默契。”

　　两人同时停下动作。

　　“我带了这么多年竞赛队，”周老师继续说，“很少见到这样的搭档。通常是一个人主导，另一个人辅助。但你们……是真正的合作。物理和数学，实验和理论，互相挑战，互相完善。”

　　他顿了顿，看着他们：“珍惜这种默契。以后上了大学，进了研究所，都不一定能再遇到。”

　　实验室安静下来。只有电脑风扇的嗡嗡声，和远处走廊的钟摆声。

　　“谢谢周老师。”姜之墨先开口，“我们会珍惜的。”

　　“嗯。”方见微点头。

　　周老师笑了笑，继续批改作业。

　　程序运行结束。姜之墨调出结果：摆球轨迹的三维重建——由于摄像机只有一个角度，她只能得到二维投影，但通过摆长约束，可以反推三维运动。

　　“看，”她指着屏幕上的曲线，“这不是完美的圆弧。这里有微小的波动……”

　　放大，再放大。波动变得清晰：摆球在摆动的同时，有微小的横向晃动，幅度大约0.1毫米。

　　“是悬点的摩擦？”方见微问。

　　“或者是摆球的不规则性。”她调出摆球的特写——钢球表面有细微的加工痕迹，不是完美的球体。

　　“能定量吗？”他问。

　　“我试试。”她开始计算，手指在键盘上飞舞。

　　方见微看着她专注的侧脸。屏幕的光在她脸上闪烁，睫毛在眼下投出跳动的阴影。她咬着下唇——这是她深度思考时的习惯动作。

　　这一刻，他清晰地感觉到：他们正在一起探索一个无人到达的细节世界。0.1毫米的晃动，对大多数人来说可以忽略不计。但他们要测量它，分析它，理解它如何影响整个系统。

　　这种追求极致的精确，这种对微小事物的尊重，是他和她共有的特质。

　　也许周老师说对了——这种默契，珍贵。

　　“算出来了。”姜之墨抬起头，眼睛里有光，“这个微小晃动对周期的贡献大约是0.02%。单个因素很小，但如果有十个这样的因素，累积效应就不可忽略了。”

　　“误差传播。”方见微说。

　　“对。”她点头，“就像蝴蝶效应。一只蝴蝶扇翅膀不重要，但如果是亿万只蝴蝶……”

　　她没说完，但方见微懂了。

　　就像他们之间。一次实验不重要，一次讨论不重要。但三十七次实验，一百次讨论，无数次的邮件、纸条、眼神交流……

　　累积起来，就成了无法忽略的系统性偏移。

　　让他们从陌生人，变成了现在的——不管叫什么，总之是超越了普通同学关系的，某种珍贵的连接。

　　“继续吗？”他问。

　　“继续。”她说。

　　那天晚上，他们工作到十点整。周老师催了三次，他们才收拾器材离开。

　　走出实验楼时，夜空清澈，繁星点点。

　　“下周继续？”姜之墨问。

　　“继续。”方见微说。

　　“好。”她笑，“晚安。”

　　“晚安。”

　　他看着她走向校门口，看着她上了叔叔的车，看着车灯在夜色中远去。

　　然后他抬头，看向星空。

　　猎户座已经看不见了——夏天不是它的季节。

　　但北斗七星依然明亮，勺柄指向南方——那是夏天更深的方向。

　　暑假快要来了。

　　比赛快要来了。

　　而他们，正在一起，

　　用最精密的仪器和最抽象的数学，

　　测量那些微小到几乎不存在、

　　却可能改变一切的，

　　蝴蝶振翅的瞬间。